Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

 (x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form (x + y)n auszumultiplizieren ist.

Inhaltsverzeichnis

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente x und y eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen n\in\Bbb N_0 gilt die Gleichung:

 (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen x und y. (Man beachte dabei 00 = 1.)

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

 \binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot{k!}}  ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n ist hierbei die Fakultät von n bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme \tbinom{n}{ k} x^{n-k}y^k sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl \tbinom{n}{k} an das Ringelement xnkyk aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als \Z-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste Binomische Formel.

Verallgemeinerungen

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur x und y miteinander kommutieren, d.h. x\cdot y = y\cdot x gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
(x+y)^n = x^n + \left[ \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \right] + y^n.

Herleitung

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl n kann durch Vollständige Induktion erbracht werden.[1] Für jedes konkrete n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

 (x+y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}y + \binom{3}{2}\, xy^{2} + \binom{3}{3}\, y^{3}=x^3+3\,x^2y+3\,xy^2+y^3


 (x-y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}(-y) + \binom{3}{2}\, x(-y)^{2} + \binom{3}{3}\,(-y)^{3}=x^3-3\,x^2y+3\,xy^2-y^3

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

 (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{\alpha - k}y^{k} \quad (2).

Diese Reihe konvergiert für alle  x,y\in\mathbb{C} mit | x / y | < 1.

Im Spezialfall  \alpha\in\mathbb{N} geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle  x,y\in\mathbb{C} gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!} .

Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für α = -1 und x = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Wikibooks Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

Weblinks


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